Question

设函数f（x）=lnx-x²+ax（其中无理数e=2.71828…，a∈R）．
（I）若函数f（x）在（0，e]上不是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明：设函数f（x）的图象在x=x₀处的切线为l，证明：f（x）的图象上不存在位于直线l上方的点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）利用函数单调性和导数之间的关系，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）利用导数的几何意义，求出函数的切线，利用函数的最值和导数之间的关系，即可的得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

-2x2+ax+1

x

=-

2x2-ax-1

x

，
要使f（x）在（0，e]上不单调，f'（x）在（0，e）内必有零点且在零点左右异号，
即h（x）=2x²-ax-1在（0，e）内有零点且在零点左右异号．   
因为△=a²+8＞0，
所以方程2x²-ax-1=0有两个不等的实数根x₁，x₂，由于x₁x₂=-

1

2

＜0，
不妨设x₁＜0，x₂＞0，所以x₁＜0，x₂∈（0，e），
由h（x）图象可知：h（0）h（e）＜0，
即2e²-ae-1＞0，解得 a＜2e-

1

e

．
（Ⅱ）因为f′(x0)=

1

x0

-2x0+a，
又切点C（x0，lnx0-

x

2 0

+ax0），所以切线l的方程为y-(lnx0-

x

2 0

+ax0)=(

1

x0

-2x0+a)(x-x0)，
即y=(

1

x0

-2x0+a)x-1+

x

2 0

+ln?x0，（x₀为常数）．…（8分）
令g(x)=f(x)-[(

1

x0

-2x0+a)x-1+

x

2 0

+ln?x0]，
则g（x）=ln?x-x2-[(

1

x0

-2x0)x-1+

x

2 0

+ln?x0]，
则g′(x)=

1

x

-2x-(

1

x0

-2x0)=-(x-x0)(

2xx0+1

xx0

)=-

2(x-x0)(x+ 1 2x0 )

x

，
因为x₀＞0，x，g′（x），g（x）的关系如下表：

x	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

因为g（x）≤g（x₀）=0，所以函数f（x）图象上不存在位于直线l上方的点．

点评：本题主要考查函数单调性与导数之间的关系，以及导数的几何意义，综合性较强，运算量较大．