Question

8．经过椭圆$\frac{x^2}{2}$+y²=1的左焦点F₁作倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则AB的长为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{2}}}{7}$
• B． $\frac{{4\sqrt{2}}}{7}$
• C． $\frac{{6\sqrt{2}}}{7}$
• D． $\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$

Answer 1

分析 由题意可知直线方程为y=$\sqrt{3}$（x+1），将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理可知x₁+x₂=-$\frac{12}{7}$，x₁x₂=$\frac{4}{7}$，根据弦长公式即可求得AB的长．

解答 解：∵椭圆方程：$\frac{x^2}{2}$+y²=1
∴焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵直线AB过左焦点F₁倾斜角为60°，
∴直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$（x+1），
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得7x²+12x+4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
x₁+x₂=-$\frac{12}{7}$，x₁x₂=$\frac{4}{7}$，
由现场公式丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+（\sqrt{3}）^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{12}{7}）^{2}-4×\frac{4}{7}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{7}$，
故答案选：D．

点评 本题考查椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，韦达定理及弦长公式等知识，考查计算能力，属于中档题．