Question

9．已知F₁，F₂是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0$，b＞0）的左、右焦点，若直线y=2x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF₁QF₂是矩形，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $5-2\sqrt{5}$
• B． $5+2\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5+2\sqrt{5}}$
• D． $\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

Answer 1

分析 由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，矩形的对角线长相等，
y=2x代入$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0$，b＞0），可得x=±$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-4{a}^{2}}}$，y=±2$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-4{a}^{2}}}$，
∴$\frac{5{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}-4{a}^{2}}$=c²，
∴5a²b²=（b²-4a²）c²，
∴5a²（c²-a²）=（c²-5a²）c²，
∴e⁴-10e²+5=0，
∵e＞1，∴e²=5+2$\sqrt{5}$，
∴e=$\sqrt{5+2\sqrt{5}}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查矩形的性质，确定a，c的关系是关键，属于中档题．