Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝nan+n（n﹣1），且a5是a2和a6的等比中项．

（Ⅰ）证明：数列{an}是等差数列并求其通项公式；

（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an＝13﹣2n； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）将n换为n+1，相减，运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，以及等比数列中项性质，可得首项和公差，进而得到所求通项；

（Ⅱ）求得（），由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．

（Ⅰ）Sn＝nan+n（n﹣1），

可得Sn+1＝（n+1）an+1+n（n+1），

相减可得Sn+1﹣Sn＝（n+1）an+1﹣nan+n（n+1）﹣n（n﹣1），

化简an+1＝（n+1）an+1﹣nan+2n，

即为nan+1﹣nan＝﹣2n，

即有an+1﹣an＝﹣2，

则数列{an}是公差d为﹣2的等差数列，

a5是a2和a6的等比中项，可得，

即（a1﹣8）2＝（a1﹣2）（a1﹣10），解得a1＝11，则an＝11﹣2（n﹣1）＝13﹣2n；

（Ⅱ）（），

则数列{bn}的前n项和为（）

（）．