Question

【题目】已知函数.

（1）若，证明:；

（2）当时，讨论函数零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）答案不唯一，见解析

【解析】

（1）将a＝0代入函数的表达式，求出，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到最大值是f（1）＜0即可；

（2）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间，得到函数的极值，进而求出函数的零点的个数．

（1）当时,，求导得，

令＞0，解得：0＜x＜1，令＜0，解得：x＞1，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

f（x）最大值＝f（1）＝﹣2+2ln1＝﹣2＜0，∴a＝0时，f（x）＜0；

（2）函数，，

当时,由（1）可得函数，没有零点；

当,即时，令得,或,得，

即函数的增区间为,，减区间为，而，

所以当时,；当时，；当时，时，，

所以函数在区间没有零点,在区间有一个零点；

当,即时,恒成立，即函数在上递增，

而，时，，所以函数在区间有一个零点；

当,即时,令得,或,，得；

即函数的增区间为,,减区间为，

因为,所以，又时，，

根据函数单调性可得函数在区间没有零点,在区间有一个零点.

综上：当时,没有零点；当时，有一个零点.