Question

【题目】已知函数，（其中a是常数）.

（1）求过点与曲线相切的直线方程；

（2）是否存在的实数，使得只有唯一的正数a，当时不等式恒成立，若这样的实数k存在，试求k，a的值；若不存在.请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在,,

【解析】

（1）根据导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程，
（2）假设存在的正实数，使得只有唯一的正数，当时不等式恒成立，转化为，分类讨论求的最小值，令其大于等于零，利用导数求出k，a的值即可．

解：（1）设过点的直线与曲线相切于点，

因，则，

所以在处切线斜率为，

则在处切线方程为，

将代入切线方程得，所以，

所以切线方程为；

（2）假设存在实数，使得只有唯一的正数，当时不等式恒成立，即恒成立，

取，可知，

因为，，所以，令，

则，

由得.

（1）当时，

时，，则在上为减函数，

时，，则在上为增函数，

则，

即，令，

则，由，得，

时，，则在区间上为减函数，

时，，则在区间上为增函数，

因此存在唯一的正数，使得，故只能.

所以，

所以，此时a只有唯一值.

（2）当时，，所以在上为增函数，

所以，则，

故.

所以满足的a不唯一

综上，存在实数，a只有唯一值，当时，恒有原式成立.