Question

18．已知数列{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，若a₃=20，2S₃=S₄+8．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=$\frac{1}{{S}_{n}-1}$（n∈N^*），T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组，可得首项和公差，即可得到所求通项；
（2）求得b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
由2S₃=S₄+8得：2（3a₁+$\frac{3×2}{2}$d）=4a₁+$\frac{4×3}{2}$d+8，
解得a₁=4；
由a₃=a₁+2d=20，所以d=8，
故数列{a_n}的通项公式为：a_n=a₁+（n-1）d=8n-4；
（2）由（1）可得${S_n}=4{n^2}$，
${b_n}=\frac{1}{{4{n^2}-1}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
则${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的求法，注意运用等差数列的通项公式和求和公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．