Question

9．已知直线y=k（x+2）与抛物线y²=8x交于A、B两点，F为抛物线的焦点，则直线FA与直线FB的斜率之和等于（　　）

• A． -4
• B． 4
• C． 0
• D． 2

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点F（2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立直线方程和抛物线的方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理，由直线的斜率公式，可得直线FA与直线FB的斜率之和，化简整理代入计算即可得到所求和．

解答 解：如图所示抛物线y²=8x的焦点为F（2，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{{y}^{2}=8x}\end{array}\right.$，化为k²x²+（4k²-8）x+4k²=0，（k≠0）．
由于△＞0，
可得x₁+x₂=$\frac{8-4{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4．
则直线FA与直线FB的斜率之和为$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{k（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）+k（{x}_{2}+2）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=$\frac{k（2{x}_{1}{x}_{2}-8）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=0，
故直线FA与直线FB的斜率之和为0，
故选：C．

点评 本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．