Question

已知函数F（x）=

3x-2

2x-1

，（x≠

1

2

），
（I）求F（

1

2010

）+F（

2

2010

）+…+F（

2009

2010

）的值；
（II）已知数列{an}满足a₁=2，a_n+1=F（a_n），求证数列{

1

an-1

}是等差数列；
（III）已知b_n=

2n-1

2n

，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）由题意可得F（x）+F（1-x）=3，所以设S=F（

1

2010

）+f（

2

2010

）+…+F（

2009

2010

）倒序后相加即可得到结果．
（II）由a _n+1=F（a_n）两边同减去1，得

1

an+1-1

=

2an-1

an-1

=2+

1

an-1

，所以，{

1

an-1

}是以2为公差以1为首项的等差数列．
（III）利用条件可得a_nb_n=

n

2n-1

，它是一个等差数列与等比数列积的形式，利用错位相减可求数列的和．

解答：解：（I）因F（x）+F（1-x）=

3x-2

2x-1

+

3(1-x)-2

2(1-x)-1

=3．------------------------------（2分）
所以设S=F（

1

2010

）+f（

2

2010

）+…+F（

2009

2010

）…（1）
S=F（

2009

2010

）+f（

2

2010

）+…+F（

1

2010

）…（2）
（1）+（2）得：2S=2009×[F（

1

2010

）+F（

2009

2010

）]=3×2009=6027，
∴S=

6027

2

．
（II）由a _n+1=F（a_n）两边同减去1，得a _n+1-1=

3an-2

2an-1

-1=

an-1

2an-1

．---------（7分）
所以

1

an+1-1

=

2an-1

an-1

=2+

1

an-1

所以，{

1

an-1

}是以2为公差以1为首项的等差数列．----（10分）
（III）因为

1

an-1

=2+(n-1)×2，
∴a_n=1+

1

2n-1

=

2n

2n-1

．
因为b_n=

2n-1

2n

，所以a_nb_n=

n

2n-1

------------------------------（12分）
S_n=

1

20

+

2

21

+…+

n

2n-1

（3）

1

2

S_n=

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

          （4）
由（3）-（4）得

1

2

S_n=

1

20

+

1

21

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

1

2n-1

-

n

2n

所以S_n=4-

2+n

2n-1

-----------------------------（14分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列，求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和方法中的重点与难点，要注意掌握