Question

【题目】如图，四棱锥中，为等边三角形，，平面平面，点为的中点，连接.

（1）求证:平面PEC平面EBC；

（2）若，且二面角的平面角为，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）设为中点，先由等边三角形性质得根据面面垂直性质定理得平面，再根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，由向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补得方程，解得实数的值.

试题解析：（1）证明：∵为等边三角形，为中点，∴，

又平面平面，平面平面，平面，

∴平面，而平面，

∴平面平面.

（2）如图，在平面中，作交于点.易知，

以分别为轴建立空间直角坐标系.

设，则，

∴，

，

易知，平面的一个法向量，

设平面的一个法向量为，

则，即

不妨令，解得，

由题知：，解得.