Question

已知函数f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx．
（1）若a＞0，求函数f（x）的极值点；
（2）若f（x）＞0，求a取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，再找到单调区间，从而找到极值点；
（2）x＞0，由f（x）＞0得|x+a|＞

lnx

2x

，分别讨论当①0＜x＜1，

lnx

2x

＜0，得a∈R，②当x=1，|1+a|＞0得a≠-1，③当x＞1时的情况，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）a＞0，x＞0，f(x)=x2+ax-

1

2

lnx，
f′(x)=2x+a-

1

2x

=

4x2+2ax-1

2x

，
f′(x)=0⇒x1=

-a- a2+4

4

＜0，x2=

-a+ a2+4

4

＞0，
f'（x）＜0⇒x∈（0，x₂）减函数，f'（x）＞0⇒x∈（x₂，+∞）增函数，
∴x2=

-a+ a2+4

4

是函数的极小值点，无极大值点．
（2）x＞0，由f（x）＞0得|x+a|＞

lnx

2x

，
当0＜x＜1，

lnx

2x

＜0，得a∈R，
当x=1，|1+a|＞0得a≠-1，
当x＞1，不等比等价于a＜-x-

lnx

2x

，或a＞-x+

lnx

2x

令g(x)=-x-

lnx

2x

，h′(x)=-1-

1-lnx

2x2

=

-2x2-1+lnx

2x2

令φ（x）=-2x²-1+lnx，
φ′(x)=-4x+

1

x

=

1-4x2

x

＜0(x＞1)，
φ（x）在（1，+∞）减函数，φ（x）＜φ（1）=-3＜0，
得g（x）在（1，+∞）减函数，g（x）∈（-∞，-1），
∴a＜-x-

lnx

2x

不恒成立．
又令h(x)=-x+

lnx

2x

，
∴h′(x)=-1+

1-lnx

2x2

=

-2x2+1-lnx

2x2

令ψ（x）=-2x²+1-lnx在（1，+∞）减函数，ψ（x）＜ψ（1）=-1＜0，
得h（x）在（1，+∞）是减函数，h（x）＜h（1）=-1，得a≥-1．
综上，a取值范围为：a＞-1．

点评：本题考察了函数的最值问题，函数的单调性，求参数的范围，渗透了分类讨论思想，是一道中档题．