Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1）．数列{a_n}满足a₁=2，（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）用a_n表示a_n+1；
（2）求证：{a_n-1}是等比数列
（3）（文科），若数列{a_n}的前n项和为S_n，试求n的最小值，使得S_n＞n+3恒成立．
（理科）若b_n=3f（a_n）-g（a_n+1），求数列{b_n}的最大项和最小项．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出（a_n-1）（3a_n-4a_n+1+1）=0，a₁=2，由此能用a_n表示a_n+1．
（2）由已知条伯推导出an+1-1=

3

4

an+

1

4

-1=

3

4

(an-1)，由此能证明数列{a_n-1}是以1为首项，公比为

3

4

的等比数列．
（3）（文）由已知条件推导出an=(

3

4

)n-1+1，从而得到n=1，2，3，4时，（

3

4

）ⁿ＞

1

4

，当n=5时，(

3

4

)n＜

1

4

，由此能求出n=5为满足条件的最小值．
（3）（理）由已知条件推导出an=(

3

4

)n-1+1，y=（

3

4

）^x为减函数，由此能求出{b_n}的最大项为b₁=0，最小项为b3=-

189

256

．

解答： （1）解：∵（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，
g（a_n）=4（a_n-1），f（a_n）=（a_n-1）²，
∴（a_n-1）（3a_n-4a_n+1+1）=0，又a₁=2，
∴an+1=

3

4

an+

1

4

．…（3分）
（2）证明：∵an+1=

3

4

an+

1

4

，∴an+1-1=

3

4

an+

1

4

-1=

3

4

(an-1)，
∵a₁-1=1，∴数列{a_n-1}是以1为首项，公比为

3

4

的等比数列．…（7分）
（3）（文）解：由（2）知an-1=(

3

4

)n-1，
∴an=(

3

4

)n-1+1，
Sn=n+

1-( 3 4 )n

1- 3 4

=n+4[1-（

3

4

）ⁿ]，…（9分）
∵S_n＞n+3，∴(

3

4

)n＜

1

4

．…（11分）
∵n=1，2，3，4时，（

3

4

）ⁿ＞

1

4

，当n=5时，(

3

4

)n＜

1

4

，
∵y=（

3

4

）^x单调递减，∴n=5为满足条件的最小值．…（14分）
（3）（理）解：由（2）知an-1=(

3

4

)n-1，
∴an=(

3

4

)n-1+1，
∴b_n=

32n-1-3n•4n-1

42n-2

=3(

3

4

)n-1[(

3

4

)n-1-1]，
∵y=（

3

4

）^x为减函数，∴b_n的最大项为b₁=0．…（9分）
又bn=3[(

3

4

)n-1-

1

2

]2-

3

4

≥-

3

4

，
而此时n不为整数才能有(

3

4

)n-1=

1

2

，…（11分）
∴只需考虑（

3

4

）^n-1接近于

1

2

，
∵y=(

3

4

)x单调递减，
当n=3时，（

3

4

）^n-1=

9

16

与

1

2

相差

1

16

；当n=4时，（

3

4

）^n-1=

27

64

与

1

2

相差

5

64

，
∴b_n的最小项为b3=-

189

256

．
故{b_n}的最大项为b₁=0，最小项为b3=-

189

256

．…（14分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查使得不等式成立的项数n的最小值的求法，考查数列的最大项和最小项的求法，解题时要认真审题，注意函数的单调性的合理运用．