Question

已知数列{a_n}的首项a₁=2，前n项和为S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

，求证：数列{b_n}的前n项和T_n∈[

2

3

，1）

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列的通项公式，建立方程组，求出首项和公差，即可求数列{a_n}的通项公式； 
（2）利用裂项法，即可求T_n=

1

S1

+

1

S2

+…

1

Sn

的值．

解答： 解：（1）∵-a₂，S_n，2a_n+1成等差数列，
∴2S_n=-a₂+2a_n+1，
当n≥2，2S_n-1=-a₂+2a_n，
两式相减得2a_n=2a_n+1-2a_n，
∴2a_n=a_n+1，即

an+1

an

=2，
当n=1时，2a₁=-a₂+2a₂，即a₂=2a₁，满足

an+1

an

=2，
即数列{a_n}是公比q=2的等比数列，
则数列{a_n}的通项公式a_n=2×2^n-1=2ⁿ； 
（2）b_n=

an

(an-1)(an+1-1)

=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

2n+1-1-(2n-1)

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

，
则T_n=

1

2-1

-

1

22-1

+

1

22-1

-

1

23-1

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=1-

1

2n+1-1

＜1，
∵2ⁿ⁺¹-1≥3，
∴1-

1

2n+1-1

≥1-

1

3

=

2

3

，
即T_n∈[

2

3

，1）成立．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，利用裂项法是解决本题的关键，考查学生的计算能力．