Question

等比数列{a_n}（a_n＞0，n∈N^*）中，公比q∈（0，1），a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，且2是a₃与a₅的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，
①当n为何值时，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

有最大值，并求出最大值；
②当n≥2时，比较S_n与b_n的大小．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据等比数列的通项公式，建立方程组，求出首项和公比，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=log₂a_n的通项公式，求出数列{b_n}的前n项和为S_n，即可求出

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

的最大值以及比较S_n与b_n的大小．

解答： 解：（1）由a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25得(a3+a5)2=25，
∵a_n＞0，∴a₃+a₅=5，又a₃•a₅=4，0＜q＜1，
∴a₃=4，a₅=1，从而q=

1

2

，
∴an=25-n．
（2）由（1）得b_n=log₂a_n=5-n，
∴Sn=

9n-n2

2

，即

Sn

n

=

9-n

2

，
∴{

Sn

n

}成等差数列，
①令

9-n

2

≥0，得n≤9，
∴当n=8或9时，

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大，最大值为8．
②Sn=

9n-n2

2

，b_n=5-n，
Sn-bn=

9n-n2

2

-(5-n)=

-n2+11n-10

2

=

-(n-1)(n-10)

2

，
∵n≥2，∴（ⅰ）当n＞10时，S_n＜b_n；
（ⅱ）当n=10时，S_n=b_n；
（ⅲ）当2≤n＜10时，S_n＞b_n．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式以及前n项和公式的计算，考查学生的计算能力．