Question

（Ⅰ）求证：当a＞2时，

a+2

+

a-2

＜2

a

；
（Ⅱ）证明：2，

3

，5不可能是同一个等差数列中的三项．

Answer 1

考点：反证法与放缩法

专题：选作题,不等式

分析：（Ⅰ）利用综合法证明即可；
（Ⅱ）利用反证法证明，假设2，

3

，5是同一个等差数列中的三项，分别设为a_m，a_n，a_p，推出d=

am-an

m-n

=

2- 3

m-n

为无理数，又d=

am-ap

m-p

=

2-5

m-p

=

-3

m-p

为有理数，矛盾，即可证明不可能是等差数列中的三项．

解答： 解：（Ⅰ）∵（

a+2

+

a-2

）²=2a+2

a+2

•

a-2

，

a+2

＞0，

a-2

＞0且a+2≠a-2，
∴2a+

a+2

+

a-2

＜2a+(a+2)+(a-2)=4a，
∴

a+2

+

a-2

＜2

a

----------（7分）
（Ⅱ）假设2，

3

，5是同一个等差数列中的三项，分别设为a_m，a_n，a_p，
则d=

am-an

m-n

=

2- 3

m-n

为无理数，又d=

am-ap

m-p

=

2-5

m-p

=

-3

m-p

为有理数，矛盾．
所以，假设不成立，即2，

3

，5不可能是同一个等差数列中的三项．-------（14分）

点评：反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得．应用反证法证明的具体步骤是：①反设：作出与求证结论相反的假设； ②归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；③结论：说明反设成立，从而肯定原命题成立．