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    市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．
    （Ⅰ）求原棚户区建筑用地ABCD中对角A，C两点的距离；
    （Ⅱ）请计算出原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆的半径R；
    （Ⅲ）因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．
    考点：余弦定理
    专题：应用题,解三角形
    分析：（Ⅰ）由∠ABC+∠ADC=180°及余弦定理得：AC2=42+62-2×4×6cos∠ABC=42+22-2×2×4cos∠ADC，可求∠ABC=60°，在△ABC中再用余弦定理即可求得AC；
    （Ⅱ）S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC，利用三角形面积公式即可求得；
    （Ⅲ）S四边形APCD=S△ADC+S△APC，易求S△ADC，设AP=x，CP=y，则S△APC=
    1
    2
    xysin60°=
    		3
    4
    xy    ，由余弦定理得：AC2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=28x2+y2-xy≥2xy-xy=xy，可求xy的最大值，从而可得S△APC的最大值，作AC的垂直平分线与圆弧ABC的交点即为点P．
    解答： 解：（Ⅰ）∠ABC+∠ADC=180°，
    由余弦定理得：AC2=42+62-2×4×6cos∠ABC=42+22-2×2×4cos∠ADC，
    ∴cos∠ABC=
    1
    2
    ，
    ∵∠ABC∈（0，π），∴∠ABC=60°，∠ADC=120°，
    ∴AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC=28，
    ∴AC=2
    		7
    ．即原棚户区建筑用地ABCD中对角A，C两点的距离为2
    		7
    万米．
    （Ⅱ）S四边形ABCD=
    1
    2
    ×4×6×sin60°+
    1
    2
    ×2×4×sin120°=8
    		3
    （万平方米），
    由正弦定理得：2R=
    AC
    sinB
    =
    2
    		7
    		3
    2
    =
    4
    		21
    3
    （万米），
    ∴R=
    2
    		21
    3
    （万米）；
    （Ⅲ）S四边形APCD=S△ADC+S△APC，
    又S△ADC=
    1
    2
    AD•CDsin120°    =2
    		3
    ，
    设AP=x，CP=y，则S△APC=
    1
    2
    xysin60°=
    		3
    4
    xy    ，
    由余弦定理得：AC2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=28x2+y2-xy≥2xy-xy=xy，
    ∴xy≤28，当且仅当x=y时取“=”，
    ∴S四边形APCD=2
    		3
    +
    		3
    4
    xy≤2
    		3
    +
    		3
    4
    ×28=9
    		3
    （万平方米），
    ∴作AC的垂直平分线与圆弧ABC的交点即为点P，最大面积为9
    		3
    万平方米．
    点评：该题考查利用余弦定理解决实际问题，考查学生的运算求解能力，根据实际问题正确建立数学模型是解题关键．
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    1
    2
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    1
    2x
    +
    3
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    		a+2
    +
    		a-2
    ＜2
    		a
    ；
    （Ⅱ）证明：2，
    		3
    ，5不可能是同一个等差数列中的三项．

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