Question

已知两个定点A₁（-2，0），A₂（2，0），动点M满足直线MA₁与MA₂的斜率之积是定值

m

4

（m∈R，m≠0）．
（1）求动点M的轨迹方程，并指出随m变化时方程所表示的曲线的形状；
（2）若m=-3，已知点A（1，t）（t＞0）是轨迹M上的定点，E，F是动点M的轨迹上的两个动点且E，F，A不共线，如果直线AE的斜率k_AE与直线AF的斜率k_AF满足k_AE+k_AF=0，试探究直线EF的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设动点M（x，y），依题意有

y

x-2

•

y

x+2

=

m

4

，（m≠0），由此能求出动点M的轨迹方程，并能指出随m变化时方程所表示的曲线的形状．
（2）m=-3时，动点M的轨迹 方程为

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2），设直线AE方程为：y=k（x-1）+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（

3

2

-k）²-12=0，由此能求出直线EF的斜率为定值

1

2

．

解答： 解：（1）设动点M（x，y），依题意有

y

x-2

•

y

x+2

=

m

4

，（m≠0），
整理，得

x2

4

-

y2

m

=1，m≠2．
∴动点M的轨迹方程为

x2

4

-

y2

m

=1，x≠±2．
m＞0时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线，
m∈（-4，0）时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆，
m=-4时，轨迹是椭圆，
m∈（-∞，-4）时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且点A₁（-2，0），A₂（2，0）不在曲线上．
（2）m=-3时，动点M的轨迹 方程为

x2

4

+

y2

3

=1（x≠±2）
∵点A（1，t）（t＞0）在轨迹M上，∴

1

4

+

t2

3

=1，
解得t=

3

2

，即点A的坐标为（1，

3

2

）7分
设k_AE=k（k≠0），则直线AE方程为：y=k（x-1）+

3

2

，
代入

x2

4

+

y2

3

=1并整理得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（

3

2

-k）²-12=0
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），∵点A（1，

3

2

）在动点M的轨迹上，
∴x_E=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

③，
y_E=kx_E+

3

2

-k，④9分
又k_AE+k_AF=0得k_AF=-k，将③、④式中的k代换成-k，可得
x_F=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，y_F=-kx_F+

3

2

+k10分
∴直线EF的斜率k_EF═

yF-yE

xF-xE

=

-k(xF+xE)+2k

xF-xE

∵x_E+x_F=

8k2-6

4k2+3

，x_F-x_E=

24k

4k2+3

∴k_EF═

-k 8k2-6 4k2+3 +2k

24k 4k2+3

=

-k(8k2-6)

24k

=

1

2

即直线EF的斜率为定值，其值为

1

2

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线的斜率是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．