Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．

（1）求证：AB∥EF；

（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2) 见解析

【解析】

（1）证明：AB∥平面PCD，即可证明AB∥EF；
（2）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD.

（1）证明：底面ABCD是正方形，

AB∥CD ,

又AB平面PCD，CD平面PCD，

AB∥平面PCD ,

又A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，

AB∥EF ;

（2）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ,

又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD平面ABCD,CD平面PAD

CD⊥平面PAD ,

又AF平面PAD ,

CD⊥AF ,

由（1）可知，AB∥EF，

又AB∥CD，C,D,E,F在同一平面内，

CD∥EF ,

点E是棱PC中点，

点F是棱PD中点 ,

在△PAD中，PA=AD，

AF⊥PD ,

又PD∩CD=D，PD、CD平面PCD,

AF⊥平面PCD．