Question

在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C 的对边．
（1）用向量知识证明：正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R_外（R为△ABC外接圆的半径）
（2）已知8b=5c，C=2B，求cosC的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,证明题,解三角形

分析：（1）由

AB

=

OB

-

OA

，两边平方，运用向量的数量积的定义和性质，注意结合同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，运用二倍角的余弦公式，即可得到c=2RsinC，同理可证，a=2RsinA，b=2RsinB．
（2）直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．

解答： （1）证明：∵

AB

=

OB

-

OA

，
两边平方得，

AB

2=（

OB

-

OA

）²，
即c²=R²+R²-2

OA

•

OB

=2R²-2R²•cos∠AOB=
2R²（1-cos2∠ACB）=4R²sin²∠ACB，
则c=2RsinC，
同理可证，a=2RsinA，b=2RsinB．
即有正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R_外（R为△ABC外接圆的半径）；
（2）∵在△ABC中，8b=5c，C=2B，
∴由正弦定理得：8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，
∴cosB=

4

5

，
∵B为三角形内角，
∴B∈（0，

π

4

），C＜

π

2

，
∴sinB=

1-cos2B

=

3

5

，
∴sinC=sin2B=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

，
则cosC=

1-sin2C

=

7

25

．

点评：此题考查了正弦定理的向量证明及运用，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．