Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点F为PC的中点．

（1）求证：PA∥平面BDF；
（2）求证：BD⊥平面PAC．

Answer 1

解：（1）证明：连接AC，BD与AC交于点O，连接OF．∵ABCD是菱形，∴O是AC的中点．
∵点F为PC的中点，∴OF∥PA．∵OF?平面BDF，PA?平面BDF，∴PA∥平面BDF．
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
分析：（1）设BD与AC交于点O，利用三角形的中位线性质可得OF∥PA，从而证明PA∥平面BDF．
（2）由 PA⊥平面ABCD 得PA⊥BD，依据菱形的性质可得 BD⊥AC，从而证得 BD⊥平面PAC．
点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用，取BD与AC交于点O，
是解题的突破口．