Question

已知tanα=

1

3

，tanβ=

1

7

且α，β都是锐角，则2α+β的值为

 

．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：依题意，可求得tan2α=

3

4

，0＜2α＜

π

4

；利用两角和的正切与正切函数的单调性即可求得2α+β的值．

解答： 解：∵tanα=

1

3

，
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2 3

1- 1 9

=

3

4

＜1=tan

π

4

，
又α是锐角，y=tanx在（0，

π

2

）上单调递增，
∴0＜2α＜

π

4

；
又tanβ=

1

7

，β∈（0，

π

2

），
∴tan（2α+β）=

tan2α+tanβ

1-tan2αtanβ

=

3 4 + 1 7

1- 3 4 × 1 7

=1，
∵0＜2α＜

π

4

，β∈（0，

π

2

），
∴2α+β∈（0，

3π

4

），
∴2α+β=

π

4

．
故答案为：

π

4

．

点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查正切函数的单调性，考查求解运算能力，属于中档题．