Question

若[x]表示不大于x的最大整数，则使得[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂n]≥2007成立的正整数n的最小值是

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：计算题,探究型

分析：由题目给出的定义，逐步分析得到不等式左边的规律，结合[log2(2m+1-1)]=m，尝试在m取具体值时由错位相减法求出不等式左边的和，需要求得的和小于2007，同时m+1时左边的和大于等于2007，然后计算满足使得[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log₂n]≥2007成立的正整数n的最小值．

解答： 解：[log₂1]=0，
[log₂2]=[log₂3]=1，
[log222]=[log2(22+1)]=…=[log2(23-1)]=2，
…
[log22m]=[log2(2m+1)]=…=[log2(2m+1-1)]=m．
∴[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+…+[log2(2m+1-1)]
=0+1×2+2×2²+…+m•2^m=S．
当m=7时，S=1538，当m=8时，S≥2007，
∴n＞2⁸-1=255，
当255＜n＜2⁹-1时，[log2(29-1)]=8，
由

2007-1538

8

=58.625．
∴n＞255+58.625=313.625．
∴正整数n的最小值是314．
故答案为314．

点评：本题考查了对数的运算性质，关键是对运算规律的探究，考查了学生的灵活处理问题的能力和进行繁杂运算的能力，是有一定难度的题目．