Question

如图，ABC-A₁B₁C₁是地面边长为2，高为

3

2

的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C₁P=λC₁A₁（0＜λ＜1）．
（1）证明：PQ∥A₁B₁；
（2）是否存在λ，使得平面CPQ⊥截面APQB？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，由两个平面平行的性质定理可得PQ∥AB，由此能证明PQ∥A₁B₁．
（2）假设存在这样的λ满足题设，分别取AB的中点D，PQ的中点E，连接DE，由已知得∠CED为二面角A-PQ-C的平面角，连接C₁E并延长，交A₁B₁于F，若平面CPQ⊥截面APQB，则CE²+DE²=CD²，由此能求出λ=

1

2

．

解答： （1）证明：由正三棱柱的性质可知，上下两个底面平行，
且截面APQB∩上底面A₁B₁C₁=PQ，截面APQB∩下底面ABC=AB，
由两个平面平行的性质定理可得PQ∥AB，
∴PQ∥A₁B₁．…（6分）
（2）解：假设存在这样的λ满足题设，
分别取AB的中点D，PQ的中点E，连接DE，
由（1）及正三棱柱的性质可知△CPQ为等腰三角形，APQB为等腰梯形，
∴CE⊥PQ，DE⊥PQ，
∴∠CED为二面角A-PQ-C的平面角，…（8分）
连接C₁E并延长，交A₁B₁于F，
由（1）得，

C1P

C1A1

=

C1E

C1F

=λ，C1A1=2，C1F=

3

，
∴C1E=

3

λ，EF=

3

(1-λ)，…（9分）
在Rt△CC₁E中，CE2=

3

4

+3λ2，在Rt△DFE中，DE²=

3

4

+(1-λ)2，
若平面CPQ⊥截面APQB，则∠CED=90°，
∴CE²+DE²=CD²，将以上数据代入整理，
得3λ²-3λ+

3

4

=0，解得λ=

1

2

．…（13分）

点评：本题考查线线平行的证明，考查使得面面垂直的实数值是否存在的判断与求法，考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，是中档题．