Question

椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=

2

2

，设动直线l：y=kx+m与椭圆E相切于点P且交直线x=2于点N，△PF₁F₂的周长为2（

2

+1）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求两焦点F₁、F₂到切线l的距离之积；
（3）求证：以PN为直径的圆恒过点F₂．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出焦点坐标，由离心率公式和椭圆的定义，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的方程，由判别式为0，得到k，m的关系，再由点到直线的距离公式，计算即可得到之积；
（3）求出切点P的坐标，再求N的坐标，运用向量垂直的条件，结合圆的直径所对的圆周角为直角，即可得证．

解答： 解：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），
由题意可得

c a = 2 2 2a+2c=2( 2 +1)

，解得a=

2

，c=1，
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆E：

x2

2

+y²=1；
（2）由

x2

2

+y²=1联立直线方程y=kx+m，
消去y，可得（1+2k²）x²+4kmx+2（m²-1）=0，
设直线l与椭圆E相切于点P（x₀，y₀），
则△=0即16k²m²-8（1+2k²）（m²-1）=0，
化简得m²=1+2k²，
焦点F₁，F₂到直线l的距离d₁，d₂分别为
d₁=

|-k+m|

1+k2

，d₂=

|k+m|

1+k2

，
则d₁•d₂=

|m2-k2|

1+k2

=

1+k2

1+k2

=1；
（3）证明：由（2）得，x₀=-

2km

1+2k2

=-

2k

m

，
∴y₀=kx₀+m=-

2k

m

+m=

m2-2k2

m

=

1

m

，
∴P（-

2k

m

，

1

m

），
又联立y=kx+m与x=2，得到N（2，2k+m），
则

PF2

=（1+

2k

m

，-

1

m

），

F2N

=（1，2k+m），

PF2

•

F2N

=1+

2k

m

-

1

m

（2k+m）=1+

2k

m

-

2k

m

-1=0，
∴

PF2

⊥

F2N

，
∴以PN为直径的圆恒过点F₂．

点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，同时考查直线和椭圆相切的条件，运用向量的数量积为0是证明垂直的常用方法，属于中档题．