Question

（12分）已知在数列中，，是其前项和，且
（I）求；(II)证明：数列是等差数列；
(III)令，记数列的前项和为.求证：当时， 。

Answer 1

（I）；(II)见解析； (III)见解析.

（1）令，代入可求出；
（2）代入整理得，所以数列是等差数列；
（3）由（1），（2）可求得，。所以。当时，；两边平方整理得。叠加得
，放缩求得，即证得结论。
（I）；
(II)由条件可得，
两边同除以，得：
所以：数列成等差数列，且首项和公差均为1
(III)由（Ⅰ）可得：，，代入可得，所以，.
当时，
平方则
叠加得

又
=