Question

13．在直角坐标系xOy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.（θ为参数）$．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用cos²θ+sin²θ=1消去参数可得圆的直角坐标方程式，由极坐标与直角坐标互化公式代入化简即可得出．
（2）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcos4{5}^{°}}\\{y=4+tsin4{5}^{°}}\end{array}\right.$，（t为参数），代入圆方程得：${t}^{2}+5\sqrt{2}t$+9=0，利用|MA|•|MB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为x²+（y-2）²=4，
由极坐标与直角坐标互化公式得（ρcosθ）²+（ρsinθ-2）²=4化简得ρ=4sinθ，
（2）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+tcos4{5}^{°}}\\{y=4+tsin4{5}^{°}}\end{array}\right.$，（t为参数）．
即$\left\{\begin{array}{l}x=3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t为参数）$代入圆方程得：${t}^{2}+5\sqrt{2}t$+9=0，
设A、B对应的参数分别为t₁、t₂，则${t_1}+{t_2}=5\sqrt{2}$，t₁t₂=9，
于是|MA|•|MB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=9．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．