Question

5．已知f（x）=|x-1|+|x+a|，g（a）=a²-a-2．
（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；
（2）当x∈[-a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=3，f（x）=|x-1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x-1|+|x+3|＞6，即可得出结论；
（2）当x∈[-a，1]时恒有f（x）≤g（a），1+a≤a²-a-2，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=3时，f（x）=|x-1|+|x+3|，g（3）=4，
f（x）＞g（a）+2化为|x-1|+|x+3|＞6，
x＜-3时，-x+1-x-3＞6，∴x＜-4，
-3≤x≤1时，-x+1+x+3＞6，无解，
x＞1时，x-1+x+3＞6，∴x＞2．
综上所述，x＜-4或x＞2，
∴不等式的解集为{x|x＜-4或x＞2}；
（2）∵x∈[-a，1]，∴f（x）=1+a，
∴f（x）≤g（a），化为1+a≤a²-a-2，
∴a²-2a-3≥0，
∴a≥3或a≤-1，
-a＜1，∴a＞-1，
∴a≥3．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，正确转化是关键．