Question

9．已知A，B，C为锐角△ABC的内角，$\overrightarrow{a}$=（sinA，sinBsinC），$\overrightarrow{b}$=（1，-2），$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$．
（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；
（2）求tanAtanBtanC的最小值．

Answer 1

分析 （1）依题意有sinA=2sinBsinC，从而2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC，再由cosB＞0，cosC＞0，能推导出tanB，tanBtanC，tanC成等差数列．
（2）推导出tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，从而tanAtanBtanC≥8，由此能求出tanAtanBtanC的最小值为8．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）依题意有sinA=2sinBsinC．…（2分）
在△ABC中，A=π-B-C，
所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，…（3分）
所以2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC．…（4分）
因为△ABC为锐角三角形，所以cosB＞0，cosC＞0，
所以tanB+tanC=2tanBtanC，…（5分）
所以tanB，tanBtanC，tanC成等差数列．…（6分）
（2）在锐角△ABC中，
tanA=tan（π-B-C）=-tan（B+C）=-$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$，…（7分）
即tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，…（8分）
由（1）知tanB+tanC=2tanBtanC，
于是tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥$2\sqrt{2tanAtanBtanC}$，…（10分）
整理得tanAtanBtanC≥8，…（11分）
当且仅当tanA=4时取等号，
故tanAtanBtanC的最小值为8．…（12分）

点评 本题考查等差数列的判断与证明，考查三角形三个内角的正切积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量垂直、三角函数的性质的合理运用．