Question

已知实数满足，，设函数
（1）当时，求的极小值；
（2）若函数（）的极小值点与的极小值点相同，求证：的极大值小于等于

Answer 1

（1）；（2）见解析

试题分析：（1）把代入原函数先得解析式，再求导数，列表判断单调性求函数的极小值；（2）先分别求函数的导函数，再分两种情况讨论，根据条件函数的极小值点相同分别求的极大值，从而进行判断得结论
试题解析：（Ⅰ） 解: 当a＝2时，f ′（x）＝x²－3x＋2＝（x－1）（x－2）  
列表如下：

x	（－，1）	1	（1，2）	2	（2，＋）
f ′（x）	＋	0	－	0	＋
f （x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

 
所以，f （x）极小值为f （2）＝                         5分
（Ⅱ） 解：f ′（x）＝x²－（a＋1）x＋a＝（x－1）（x－a）
g ′（x）＝3x²＋2bx－（2b＋4）＋＝
令p（x）＝3x²＋（2b＋3）x－1，
（1）当 1＜a≤2时，
f（x）的极小值点x＝a，则g（x）的极小值点也为x＝a，
所以pA＝0，
即3a²＋（2b＋3）a－1＝0，
即b＝，
此时g（x）_极大值＝g（1）＝1＋b－（2b＋4）＝－3－b
＝－3＋ ＝  
由于1＜a≤2，
故 ≤2－－＝               10分
（2）当0＜a＜1时，
f（x）的极小值点x＝1，则g（x）的极小值点为x＝1，
由于p（x）＝0有一正一负两实根，不妨设x₂＜0＜x₁，
所以0＜x₁＜1，
即p（1）＝3＋2b＋3－1＞0，
故b＞－  
此时g（x）的极大值点x＝x₁，
有 g（x₁）＝x₁³＋bx₁²－（2b＋4）x₁＋lnx₁
＜1＋bx₁²－（2b＋4）x₁
＝（x₁²－2x₁）b－4x₁＋1　 （x₁²－2x₁＜0）
＜－（x₁²－2x₁）－4x₁＋1
＝－x₁²＋x₁＋1
＝－（x₁－）²＋1＋  （0＜x₁＜1）
≤＜
综上所述，g（x）的极大值小于等于              14分