Question

已知在函数f（x）=mx³-x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

π

4

．
（1）求m、n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1995对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，得到切线的斜率等于tan

π

4

．建立等式关系，求出m的值，再将切点代入曲线方程，求出n的值；
（2）要使得不等式f（x）≤k-1995对于x∈[-1，3]恒成立，即求k≥[1995+f（x）]max，先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，即可求出k的最小值．

解答：解：（1）f'（x）=3mx²-1，依题意，得tan

π

4

=f′(1)，即1=3m-1，m=

2

3

∴f(x)=

2

3

x3-x，把N（1，n）代得，得n=f(1)=-

1

3

，
∴m=

2

3

，n=-

1

3

（2）令f′(x)=2(x+

2

2

)(x-

2

2

)=0，则x=±

2

2

，
当-1＜x＜-

2

2

时，f'（x）=2x²-1＞0，f（x）在此区间为增函数
当-

2

2

＜x＜

2

2

时，f'（x）=2x²-1＜0，f（x）在此区间为减函数
当

2

2

＜x＜1时，f'（x）=2x²-1＞0，f（x）在此区间为增函数处取得极大值
又因此，当x∈[-1，3]时，-

2

3

≤f(x)≤15，
要使得不等式f（x）≤k-1995对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15+1995=2010
所以，存在最小的正整数k=2010，
使得不等式f（x）≤k-1992对于x∈[-1，3]恒成立．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，属于中档题．