Question

已知在函数f（x）=mx³-x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

π

4

（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=a有三个不同实根，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-2011，对x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意可得

f(1)=n f′(1)=1

，代入可求m，n
（II）由（I）可求f（x），对函数求导，结合导数可判断函数的单调区间进而可求函数的极值，结合函数的性质可求
（III）只须求得y=f（x）在[-1，3]上的最大值，由（II）中的极值域区间端点的函数值进行比较即可，从而可求k的范围

解答：解：（I）f'（x）=3mx²-1…（2分）
由题意可得

f(1)=n f′(1)=1

∴

m-1=n 3m-1=1

∴

m= 2 3 n=- 1 3

（2分）
（II）f（x）=

2x3

3

-x，f′（x）=2x²-1
由f′（x）=2x²-1＞0可得x＞

2

2

或x＜-

2

2

由f′（x）=2x²-1＜0可得-

2

2

＜x＜

2

2

∴函数f（x）在（-∞，-

2

2

），（

2

2

，+∞）单调递增，在（-

2

2

，

2

，2

）单调递减（2分）
∴f(-

2

2

)=

2

3

(-

2

2

)3-(-

2

2

)=-

2

6

+

2

2

=

2

3

f(

2

2

)=

2

3

×(

2

2

)3-

2

2

=

2

6

-

2

2

=-

2

3

（2分）
依题意  a∈(-

2

3

，

2

3

)
（III）只须求得y=f（x）在[-1，3]上的最大值
由（II）可得，f(-

2

2

)=

2

3

，＜f(3)=

2

3

×33-3=18-3=15…（1分）
∴函数在[-1，3]上的最大值f（3）=15
∴k-2011≥15
∴k≥2026…（1分）
∴k_min=2026…（1分）

点评：本题主要考查了函数的导数的基本应用；利用导数的几何意义求解参数，利用导数求解函数的单调区间、函数的极值与函数的最值，属于函数知识的综合应用．