精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中x∈R,A>0,ω>0,-
π
2
<φ
π
2
)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式及f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)已知在函数f(X)的图象上的三点M,N,P的横坐标分别为-1,1,5,求sin∠MNP的值.
分析:(Ⅰ)利用最值求得A,根据周期可求ω,结合最值点,可求φ,从而可得函数解析式,进而可得f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)利用函数解析式点M,N,P的坐标,结合余弦定理,即可求sin∠MNP的值.
解答:解:(Ⅰ)由图可知,A=1,最小正周期T=4×2=8.
由T=
ω
=8,得ω=
π
4
.…(3分)
又f(1)=sin(
π
4
+φ)=1,且-
π
2
<φ<
π
2

所以φ=
π
4
.…(5分)
所以f(x)=sin(
π
4
x+
π
4
).…(6分)
2kπ-
π
2
π
4
x+
π
4
≤2kπ+
π
2
(k∈Z)
得8k-3≤x≤8k+1(k∈Z)
∴f(x)的单调递增区间为[8k-3,8k+1](k∈Z)…(8分)
(Ⅱ)因为f(-1)=0,f(1)=1,f(5)=-1,所以M(-1,0)N(1,1),P(5,-1).…(9分)
所以|MN|=
5
,|PN|=
20
,|MP|=
37

由余弦定理得cos∠MNP=
5+20-37
2
5
×
20
=-
3
5
.…(12分)
因为∠MNP∈[0,π),所以sin∠MNP=
4
5
.…(14分)
点评:本题考查三角函数解析式的确定,考查函数的单调性,考查余弦定理的运用,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)当a∈[-2,
1
4
)
时,求f(x)的最大值;
(2)设g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•海淀区二模)已知函数f(x)=a-2x的图象过原点,则不等式f(x)>
34
的解集为
(-∞,-2)
(-∞,-2)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a|x|的图象经过点(1,3),解不等式f(
2x
)>3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a•2x+b•3x,其中常数a,b满足a•b≠0
(1)若a•b>0,判断函数f(x)的单调性;
(2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定义函数F(x)=
f(x)   ,  x>0
-f(x) ,    x<0
 给出下列命题:①F(x)=|f(x)|; ②函数F(x)是奇函数;③当a<0时,若mn<0,m+n>0,总有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正确命题的序号是
 

查看答案和解析>>

同步练习册答案