Question

13．若对?x∈[0，+∞），y∈[0，+∞），不等式e^x+y-2+e^x-y-2+2-4ax≥0恒成立，则实数a取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，\frac{1}{4}}]$
• B． $[{\frac{1}{4}，+∞}）$
• C． $[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• D． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 分类参数得a≤$\frac{{e}^{x+y-2}+{e}^{x-y-2}+2}{4x}$，先把x看作常数，求出右侧函数的最小值，再把最小值看作关于x的函数，求出最小值，即可得出a的范围．

解答 解：∵e^x+y-2+e^x-y-2+2-4ax≥0恒成立，∴a≤$\frac{{e}^{x+y-2}+{e}^{x-y-2}+2}{4x}$恒成立，
把x看作常数，令f（y）=$\frac{{e}^{x+y-2}+{e}^{x-y-2}+2}{4x}$，则f′（y）=$\frac{{e}^{x+y-2}-{e}^{x-y-2}}{4x}$=$\frac{{e}^{x-2}（{e}^{y}-{e}^{-y}）}{4x}$≥0，
∴f（y）在[0，+∞）上是增函数，
∴当y=0时，f（y）取得最小值f（0）=$\frac{{e}^{x-2}+1}{2x}$，
再令g（x）=$\frac{{e}^{x-2}+1}{2x}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x-2}•2x-2（{e}^{x-2}+1）}{4{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x-2}（x-1）-1}{2{x}^{2}}$，
令g′（x）=0得x=2，
∴当0＜x＜2时，g′（x）＜0，当x＞2时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴当x=2时，g（x）取得最小值g（2）=$\frac{1}{2}$，
∴a$≤\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了函数恒成立问题，函数单调性与最值的计算，属于中档题．