Question

1．随着社会发展，广州市在一天的上下班时段经常会出现堵车严重的现象．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别；T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10）严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从广州市交通指挥中心随机选取了50个交通路段进行调查，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：
（1）据此直方图，估算交通指数T∈[3，9）时的中位数和平均数；
（2）据此直方图，求市区早高峰马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率；
（3）某人上班路上所用时间，若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟；中度拥堵为45分钟；严重拥堵为60分钟，求此人上班所用时间的数学期望．

Answer 1

分析 （1）由直方图知：T∈[3，9]时交通指数的中位数为5+1×$\frac{0.2}{0.24}$．T∈[3，9]时交通指数的平均数3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1．
（2）设事件A为“一条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1．则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为：P=${∁}_{3}^{2}×（\frac{1}{10}）^{2}×\frac{9}{10}$+${∁}_{3}^{3}×（\frac{1}{10}）^{3}$．
（3）由题意，所用时间x的分布列如下表，即可得出此人经过该路段所用时间的数学期望．

解答 解：（1）由直方图知：T∈[3，9]时交通指数的中位数为5+1×$\frac{0.2}{0.24}$=$\frac{35}{6}$．
T∈[3，9]时交通指数的平均数3.5×0.1+4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16+8.5×0.1=5.92．
（2）设事件A为“一条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1．
则3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为：P=${∁}_{3}^{2}×（\frac{1}{10}）^{2}×\frac{9}{10}$+${∁}_{3}^{3}×（\frac{1}{10}）^{3}$=$\frac{7}{250}$．
∴3条路段中至少有两条路段严重拥堵的概率为$\frac{7}{250}$．
（3）由题意，所用时间x的分布列如下表：

x	30	35	45	60
P	0.1	0.44	0.36	0.1

则Ex=30×0.1+35×0.44+45×0.36+60×0.1=40.6．
∴此人经过该路段所用时间的数学期望是40.6分钟．

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的性质及其有关计算、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．