Question

8．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且$\frac{a-b}{c}$=$\frac{sinB+sinC}{sinA+sinB}$
（1）求A
（2）求cosB+cosC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得：b²+c²-a²=-bc，由余弦定理可求cosA，结合A∈（0，π），可得A的值．
（2）由（1）得：C=$\frac{π}{3}$-B，利用三角函数恒等变换的应用化简可求cosB+cosC=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$），由B∈（0，$\frac{π}{3}$），可得：B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），由正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）∵$\frac{a-b}{c}$=$\frac{sinB+sinC}{sinA+sinB}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{a-b}{c}$=$\frac{b+c}{a+b}$，可得：b²+c²-a²=-bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∴由A∈（0，π），可得：A=$\frac{2π}{3}$…6分
（2）∵A=$\frac{2π}{3}$，可得：C=$\frac{π}{3}$-B，
∴cosB+cosC=cosB+cos（$\frac{π}{3}$-B）=$\frac{3}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$），
∵B∈（0，$\frac{π}{3}$），可得：B+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴cosB+cosC=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{3}$）∈（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]…14分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．