Question

17．如图，三角形ABC中，AB=1，$BC=\sqrt{3}$，以C为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD，当∠ABC变化时，线段BD的长度最大值为（　　）

• A． $\sqrt{6}-1$
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{6}+1$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设∠ABC=α，∠ACB=β，求出AC，sinβ，利用余弦定理，即可求出对角线BD的最大值．

解答 解：设∠ABC=α，∠ACB=β，则AC²=4-2$\sqrt{3}$cosα，
由正弦定理可得sinβ=$\frac{sinα}{\sqrt{4-2\sqrt{3}cosα}}$，
∴BD²=3+4-2$\sqrt{3}$cosα-2×$\sqrt{3}$×$\sqrt{4-2\sqrt{3}cosα}$×cos（90°+β）=7-2$\sqrt{3}$cosα+2sinα=7+2$\sqrt{6}$sin（α-45°），
∴α=135°时，BD取得最大值$\sqrt{6}$+1．
故选：C

点评 本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，有难度．