Question

18．若x＞0，则函数y=x+$\frac{1}{2x+1}$的最小值为$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 构造思想，函数y=x+$\frac{1}{2x+1}$变形为y=（x+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}}$）$-\frac{1}{2}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：x＞0，
函数y=x+$\frac{1}{2x+1}$=（x+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}}$）$-\frac{1}{2}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$=$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$，当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$时取等号．
∴函数y=x+$\frac{1}{2x+1}$的最小值为$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了构造思想，基本不等式的性质的运用，属于基础题．