Question

1．函数$f（x）=cos（2x-\frac{2π}{3}）+4{cos^2}x-2-\frac{3}{3x-π}（x∈[-\frac{11π}{12}，\frac{19π}{12}]）$所有零点之和为（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． 2π
• D． $\frac{8π}{3}$

Answer 1

分析 函数$f（x）=cos（2x-\frac{2π}{3}）+4{cos^2}x-2-\frac{3}{3x-π}（x∈[-\frac{11π}{12}，\frac{19π}{12}]）$所有零点?函数g（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）+4cos²x-2与h（x）=$\frac{3}{3x-π}$的交点横坐标．
可得函数g（x），h（x）的图象关于点（$\frac{π}{3}，0$）对称，画出函数g（x），h（x）的图象，结合图象可求解．

解答 解：函数$f（x）=cos（2x-\frac{2π}{3}）+4{cos^2}x-2-\frac{3}{3x-π}（x∈[-\frac{11π}{12}，\frac{19π}{12}]）$所有零点?函数g（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）+4cos²x-2与h（x）=$\frac{3}{3x-π}$的交点的横坐标．
g（x）=cos（2x-$\frac{2π}{3}$）+4cos²x-2=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+$\frac{3}{2}cos2x$=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），h（x）=$\frac{3}{3x-π}$=$\frac{1}{x-\frac{π}{3}}$，
可得函数g（x），h（x）的图象，关于点（$\frac{π}{3}，0$）对称．
函数g（x），h（x）的图象如下：（只需画出直线x=$\frac{π}{3}$右侧部分）
结合图象可得在区间[-$\frac{11π}{12}$，$\frac{19π}{12}$]，函数g（x），h（x）的图象由4个交点，关于点（$\frac{π}{3}，0$）对称．
所有零点之和为2×$\frac{π}{3}$+2×$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，
故选：B

点评 本题考查了函数的图象与性质，考查了数形结合思想、转化思想，属于中档题．