Question

10．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BB₁=5，AB=4，BC=2．
（1）求三棱柱${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$的体积；
（2）若M是棱AC中点，求B₁M与平面ABC所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）利用三棱柱${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$的体积计算公式即可得出．
（2）连接BM，由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得B₁B⊥底面ABC．可得∠B₁MB为B₁M与平面ABC所成的线面角．在Rt△ABC中，由M是棱AC中点，可得$BM=\frac{1}{2}$AC．在Rt△B₁MB中，tan∠B₁MB$\frac{{B}_{1}B}{BM}$，即可得出．

解答 解：（1）三棱柱${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$的体积V=$\frac{1}{2}×4×2×5$=20．
（2）连接BM，由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得B₁B⊥底面ABC．
∴∠B₁MB为B₁M与平面ABC所成的线面角．
在Rt△ABC中，AC$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$2\sqrt{5}$．
∵M是棱AC中点，$BM=\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{5}$．
在Rt△B₁MB中，tan∠B₁MB$\frac{{B}_{1}B}{BM}$=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
∴B₁M与平面ABC所成角的大小为arctan$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了直三棱柱的性质与体积计算公式、线面角、直角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．