Question

8．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+5\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ²+2ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=3．
（1）判断直线l与曲线C的位置关系；
（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+5\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t是参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程ρ²+2ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=3．展开可得：ρ²+2ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（sinθ+cosθ）=3．利用互化公式可得直角坐标方程，求出圆心C到直线l的距离d，与半径2半径即可得出直线l与曲线C的位置关系．
（2）设x=2cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=2sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得x+y=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，利用三角函数的单调性即可得出取值范围．

解答 解：（1）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}t+5\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t是参数），消去参数t可得：普通方程：x+y-5$\sqrt{2}$=0．
曲线C的极坐标方程ρ²+2ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=3．展开可得：ρ²+2ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（sinθ+cosθ）=3．
可得直角坐标方程：x²+y²+$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$y=3．配方为：$（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=4，
可得圆心C$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，半径r=2．
圆心C到直线l的距离d=$\frac{|\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-5\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=4＞2，
因此直线l与曲线C的位置关系是相离．
（2）设x=2cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=2sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则x+y=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$，∵sin（$θ+\frac{π}{4}$）∈[-1，1]．
∴x+y∈$[-\sqrt{2}，3\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程、三角函数的单调性、和差公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．