Question

18．已知a＞2，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_a}（{x+1}）+x-2，x＞0\\ x+4-{（\frac{1}{a}）^{x+1}}\begin{array}{l}{\;}{x≤0}\end{array}\end{array}$若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，则（　　）

• A． ?a＞2，x₁-x₂=0
• B． ?a＞2，x₁-x₂=1
• C． ?a＞2，|x₁-x₂|=2
• D． ?a＞2，|x₁-x₂|=3

Answer 1

分析 通过当x＞0时，不妨设其根为x₁；当x≤0时，不妨设其根为x₂，推出x₁-x₂=3；转化求出结果即可．

解答 解：当x＞0时，y=log_a（x+1）+x-2，令y=0，则有log_a（x+1）=3-（x+1）不妨设其根为x₁；
当x≤0时，$y=x+4-{（\frac{1}{a}）^{x+1}}$，令y=0，则有${（\frac{1}{a}）^{x+1}}=3+（x+1）$，即：a^-（x+1）=3-[-（x+1）]，
不妨设其根为x₂，则有：（x₁+1）+[-（x₂+1）]=3，即：x₁-x₂=3；
同理，若x＞0时的零点为x₂，x≤0时的零点为x₁，则有：x₂-x₁=3，因而答案为D．
故选：D．

点评 本题考查函数的零点的应用，考查函数与方程的思想，是中档题．