Question

3．已知数列{a_n}为等差数列，a₁=3且（a₃-1）是（a₂-1）与a₄的等比中项．
（1）求a_n；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}-n}$，T_n=-b₁+b₂+b₃+…+（-1）ⁿb_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，a₁=3且（a₃-1）是（a₂-1）与a₄的等比中项．可得（3+2d-1）²=（3+3d）（3+d-1），整理为：d²-d-2=0，解得d并且验证即可得出．
（2）S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n，b_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}-n}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$，对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，a₁=3且（a₃-1）是（a₂-1）与a₄的等比中项．
∴（3+2d-1）²=（3+3d）（3+d-1），整理为：d²-d-2=0，解得d=2，或-1（舍去）．
∴a_n=2n+1．
（2）S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n
b_n=$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}-n}$=$\frac{2n+1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$，
当n为偶数时，T_n=-b₁+b₂+b₃+…+（-1）ⁿb_n=-$（1+\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$-…+$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$=-1+$\frac{1}{n+1}$=$\frac{-n}{n+1}$．
当n为奇数时，T_n=-b₁+b₂+b₃+…+（-1）ⁿb_n=-$（1+\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$-…-$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$=-1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{-n-2}{n+1}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{n}{n+1}，n为偶数}\\{-\frac{n+2}{n+1}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．