Question

8．设a₁、a₂∈R，且$\frac{1}{2+sin{α}_{1}}$+$\frac{1}{2+sin（2{α}_{2}）}$=2，则|10π-α₁-α₂|的最小值等于$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由题意，要使$\frac{1}{2+sin{α}_{1}}$+$\frac{1}{2+sin2{α}_{2}}$=2，可得sinα₁=-1，sin2α₂=-1．求出α₁和α₂，即可求出|10π-α₁-α₂|的最小值

解答 解：根据三角函数的性质，可知sinα₁，sin2α₂的范围在[-1，1]，
要使$\frac{1}{2+sin{α}_{1}}$+$\frac{1}{2+sin2{α}_{2}}$=2，
∴sinα₁=-1，sin2α₂=-1．
则：${α}_{1}=-\frac{π}{2}+2k_{1}π$，k₁∈Z．
$2{α}_{2}=-\frac{π}{2}+2k_{2}π$，即${α}_{2}=-\frac{π}{4}+k_{2}π$，k₂∈Z．
那么：α₁+α₂=（2k₁+k₂）π$-\frac{3π}{4}$，k₁、k₂∈Z．
∴|10π-α₁-α₂|=|10π$+\frac{3π}{4}$-（2k₁+k₂）π|的最小值为$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．