Question

6．直线$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）与圆$\left\{\begin{array}{l}{x=4+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）相切，则此直线的倾斜角α（α＞$\frac{π}{2}$）等于（　　）

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{3π}{4}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 直线$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为普通方程．圆$\left\{\begin{array}{l}{x=4+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），消去参数化为普通方程：（x-4）²+y²=4，可得圆心C（4，0），半径r=2．利用直线与圆相切的性质即可得出．

解答 解：直线$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为普通方程：xtanα-y=0．
圆$\left\{\begin{array}{l}{x=4+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），消去参数化为普通方程：（x-4）²+y²=4，可得圆心C（4，0），半径r=2．
∵直线$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）与圆$\left\{\begin{array}{l}{x=4+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）相切，∴$\frac{|4tanα|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$=2，α＞$\frac{π}{2}$，
解得tanα=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．∴α=$\frac{5π}{6}$．
故选：A．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．