Question

7．已知各项均为正数的等差数列{a_n}满足：a₄=2a₂，且a₁，4，a₄成等比数列，设{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列$\left\{{\frac{S_n}{{n•{2^n}}}}\right\}$的前n项和为T_n，求证：T_n＜3．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列以及等比数列的关系，求出数列的首项与公差，然后求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）化简通项公式，利用错位相减法求和求解即可．

解答 （Ⅰ）解：根据题意，等差数列{a_n}中，设公差为d，a₄=2a₂，且a₁，4，a₄成等比数列，a₁＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+3d=2（{a_1}+d）\\{a_1}•（{a_1}+3d）=16\end{array}\right.$解得a₁=2，d=2，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a₁=d=2，则${S_n}=2n+\frac{n（n-1）}{2}×2={n^2}+n$，
∴${b_n}=\frac{S_n}{{n•{2^n}}}=\frac{n+1}{2^n}$．
∴${T_n}=\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+…+\frac{n+1}{2^n}$，（*）$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}+\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}$，（**）
∴$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{2}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}-\frac{n+1}{{{2^{n+1}}}}$，
∴${T_n}=2+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n+1}{2^n}=2+\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n+1}{2^n}=3-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n+1}{2^n}＜3$．
∴T_n＜3．

点评 本题考查等差数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．