Question

16．A，B是圆O：x²+y²=1上不同的两点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，若存在实数λ，μ使得$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，则点C在圆O上的充要条件是（　　）

• A． λ²+μ²=1
• B． $\frac{1}{λ}$+$\frac{1}{μ}$=1
• C． λ•μ=1
• D． λ+μ=1

Answer 1

分析 由点C在圆O上?$|\overrightarrow{OC}|=1$，即$|λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}{|}^{2}=1$，展开后结合已知整理得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，
∴点C在圆O上?$|\overrightarrow{OC}|=1$，即$|λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}{|}^{2}=1$，
∴${λ}^{2}|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+2λμ\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+{μ}^{2}|\overrightarrow{OB}{|}^{2}=1$．
∵$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=1$，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，
∴λ²+μ²=1．
故选：A．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查充分必要条件的应用，是中档题．