Question

4．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC，∠ABC=45°，点E是线段PA上靠近点A的三等分点．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）若△PAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作PO⊥AB于O，连接OC，可得PO⊥面ABCD．由△POB≌△POC，∠ABC=45°，得OC⊥AB，即得AB⊥面POC，可证得AB⊥PC．
（Ⅱ）以O 为原点建立空间坐标系，$P（0，0，\sqrt{3}），B（1，0，0），C（0，1，0），A（-1，0，0）$，利用向量求解．

解答 解：（Ⅰ）作PO⊥AB于O…①，连接OC，
∵平面PAB⊥平面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，∴PO⊥面ABCD．…（2分）
∵PB=PC，∴△POB≌△POC，∴OB=OC，
又∵∠ABC=45°，∴OC⊥AB…②
又PO∩CO=O，由①②，得AB⊥面POC，又PC?面POC，∴AB⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴$PO=\sqrt{3}，OA=OB=OC=1$．
如图建立空间坐标系，$P（0，0，\sqrt{3}），B（1，0，0），C（0，1，0），A（-1，0，0）$
设面PBC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
$\overrightarrow{PB}=（1，0，-\sqrt{3}），\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$，由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PB}=x-\sqrt{3}z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=-x+y=0\end{array}\right.$，令$x=\sqrt{3}$，得$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，\sqrt{3}，1）$；
$\overrightarrow{AP}=（1，0，\sqrt{3}），\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AP}=（\frac{1}{3}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}=（1，-1，0）$．
$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=（\frac{4}{3}，-1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，
设DE与面PBC所成角为θ，
$sinθ=|cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{DE}}\right＞|=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}}}{{|\overrightarrow n||\overrightarrow{DE}|}}=\frac{{\frac{{4\sqrt{3}}}{3}-\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{\sqrt{\frac{16}{9}+1+\frac{3}{9}}×\sqrt{3+3+1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{7}$
∴直线DE与平面PBC所成角的正弦值$\frac{{\sqrt{3}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查了空间线线垂直的判定，向量法求线面角，属于中档题．