Question

2．f（x）=alnx+x²-b（x-1）-1，若对$?x∈[\frac{1}{e}，+∞）$，f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $a≤{e}+\frac{1}{e}-2$
• B． a＜2
• C． $\frac{2}{e}≤a＜2$
• D． $a≤\frac{2}{e}$

Answer 1

分析 由f（1）=0，f（x）≥f（1），对$?x∈[\frac{1}{e}，+∞）$，恒成立，即x=1是一个极小值点，可得f′（1）=a+2-b=0，b=a+2
求出f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-b=$\frac{2（x-1）（x-\frac{a}{2}）}{x}$，按以下三种情况讨论即可，①$\frac{1}{e}＜\frac{a}{2}≤1$  ②$\frac{a}{2}≤\frac{1}{e}$，③$\frac{a}{2}＞1$，

解答 解：∵f（1）=0，1∈[$\frac{1}{e}$，+∞），对$?x∈[\frac{1}{e}，+∞）$，f（x）≥0恒成立．
∴f（x）≥f（1），对$?x∈[\frac{1}{e}，+∞）$，恒成立，即x=1是一个极小值点，
f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-b，x∈$[\frac{1}{e}，+∞）$．可得f′（1）=a+2-b=0，∴b=a+2，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-b=$\frac{2（x-1）（x-\frac{a}{2}）}{x}$，
①当$\frac{1}{e}＜\frac{a}{2}≤1$时，f（x）在（$\frac{1}{e}，\frac{a}{2}$），（1，+∞）递增，在（$\frac{a}{2}，1$）递减，
则只需$f（\frac{1}{e}）=-\frac{a}{e}+\frac{1}{{e}^{2}}-\frac{2}{e}+1≥0$，解得$\frac{2}{e}＜a≤e+\frac{1}{e}-2$；
②当$\frac{a}{2}≤\frac{1}{e}$时，f（x）在（$\frac{1}{e}$，1）递减，在（1，+∞）递增，f（x）≥f（1）即可，
而f（1）=0，∴$a≤\frac{2}{e}$符合题意．
③当$\frac{a}{2}＞1$时，f（x）在（$\frac{1}{e}$，1）（$\frac{a}{2}$，+∞）递增，在（1，$\frac{a}{2}$）递减，f（$\frac{a}{2}$）＜f（1）=0，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是（-∞，e+$\frac{1}{e}$-2]，
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方思想、等价转化思想、考查了推理能力与计算能力，解题关键是求出a、b的数量关系．属于难题．