【题目】已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=.
(1)求直线CD的方程;
(2)求圆P的方程.
【答案】(1)x+y-3=0(2)圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40
【解析】
(1)求出AB中点坐标和直线CD的斜率,即得直线CD的方程;(2)设圆心P(a,b),求出的值,即得圆P的方程.
(1)由题意知,直线AB的斜率k=1,中点坐标为(1,2).
所以.
则直线CD的方程为y-2=-(x-1),
所以直线CD的方程为x+y-3=0.
(2)设圆心P(a,b),则由点P在CD上得a+b-3=0.①
又因为直径|CD|=4,所以|PA|=2,
所以(a+1)2+b2=40.②
由①②解得或
所以圆心P(-3,6)或P(5,-2).
所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.
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【题目】已知点是椭圆上任一点,点到直线的距离为,到点的距离为,且.直线与椭圆交于不同两点(都在轴上方),且.
(1)求椭圆的方程;
(2)当为椭圆与轴正半轴的交点时,求直线方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论如何变化,直线总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在极坐标系中,直线的极坐标方程为,现以极点为原点,极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系,曲线的参数方程为(为参数).
(1)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
(2)若曲线为曲线关于直线的对称曲线,点分别为曲线、曲线上的动点,点坐标为,求的最小值.
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【题目】如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点.
(1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小;
(2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小.
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【题目】如图,是的直径,PA垂直于所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.
(1)证明:是直角三角形;
(2)若,且当直线与平面所成角的正切值为时,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC, PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值.
(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值
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【题目】已知点A(0,-2),椭圆E: (a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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