Question

【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC, PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.

(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值.

(2)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

(1)由异面直线所成角的概念即可判断就是它们的一个夹角，求的余弦值即可.

(2)过点D作AB的平行线交BC于点F，证明PD⊥平面PBC，从而可得∠DFP为直线DF和平面PBC所成角的一个平面角，解三角形PDF即可解决问题。

(1)因为AD∥BC,所以∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角,

因为AD⊥平面PDC,所以AD⊥PD,

在Rt△PDA中,,

所以,cos∠DAP,

所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为 .

(2)过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为AD⊥平面PDC,AD∥BC，所以BC⊥平面PDC，

所以BC⊥PD，又PD⊥PB

所以PD⊥平面PBC,

故PF为DF在平面PBC上的射影,所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角.

由于AD∥BC,DF∥AB,故BF=AD=1,由已知得：CF=BC-BF=2.又AD⊥DC,故BC⊥DC,

在Rt△DCF中,可得.

在Rt△DPF中,sin∠DFP=.

所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.